这个等价关系中只有一个回归类的时候，那个 马尔可夫链就被称为「最简」。换句话说，全部的状态之间互相可以到达时就被称为最简。最简时都是强联结。
互相完全没有关联的邻接行列(或推移概率行列)，乘以恰当的置换行列(掉换行和列)以后得到
P = | P1 0 |
| 0 P2 |
这样的关系。这表示回归类 P1 和 P2 间完全不存在直接的链接关系。
回归类、非回归类掺杂在一起的邻接行列(或推移概率行列)，乘以恰当的置换行列后得到，
P = | P1 0 |
| Q P2 |
这样的关系(Q≠0)。此时，P1是非回归类，P2是回归类。
推移概率行列有时也被称作马尔可夫行列。称马尔可夫过程的试验行列的观测结果为马尔可夫链(Markov chain)。 当经过相当的时间后马尔可夫链会趋向某种平衡状态。对任意的状态 i, 如果 j 是非回归状态，则 Pij(n)→0。相反，当 i 为非回归、j 为回归时，停留在状态 i 上着的概率是0。如果 i，j 属于同样的非周期性回归类的话，Pij(n)→Pj≥0。
定理:若 P 是有限马尔可夫行列的话，P 的特性值 1 的重复度等于 P 决定的回归类的数目。(证明太长，省略)。
跟随着推移概率行列的有向图表的最大强联结成分(与之对应的状态的集合)被称为Ergodic部分(历遍部分)，此外的强联结成分被称为消散部分。因为无论从怎样的初期状态概率 x(0)开始，经过时间 n 后 x(n) = P(n)x(0)，所以属于消散部分的状态概率几乎接近于0。关于EllGoth部分，连同与各联结成分对应状态的类、像独立的最简的马尔可夫链一样行动，其中，各类中的状态概率(即从过去开始的平均值)的值和初期状态概率无关，换言之，是近似于与对应 P 的最简成分的固有矢量成比例的东西。在类之间概率的分配依存于初期状态的概率。
离散时间型马尔可夫链的不变分布是属于极限分布，从那个分布开始已经不是在分布意义上的随时间的变化了。状态的概率分布在时间变化时也不会变化时被称为固定分布。PageRank 用马尔可夫过程来说就是，PageRank就是以一定时间内用户随机地沿着(网页)链接前进时对各个页面访问的固定分布。
假想模型和现实世界的不同
那么，让我们将概率过程(即图表原理)的考虑方法和实际的网页链接构造合起来看一看。
对于刚才举例的假想网页群来说，只要相互顺着链接前进则在彼此页面间必定有相互链接的关系。即，有向图表是强联结的行列既是回归又是最简。像上面举的很多的概率过程的教科书一样，许多证明都是把回归和最简作为前提来证明的，如果是最简的话，各种各样的性质就变得容易说了。
但是现实的网页并不是强联结。也就是说邻接行列不是最简的。具体来说，顺着链接前进的话，有时会走到完全没有向外链接的网页。通常这样的情况，只有利用 web 浏览器的「返回」功能了。如果人们只是浏览而已的话，一切就到此结束了，然而 PageRank 的计算却不能到此结束。因为PageRank 一旦被引入以后是不能返回的。Pagerank 称这种页面为为「dangling page」。同样道理，只有向外的链接而没有反向链接的页面也是存在的。但 Pagerank 并不考虑这样的页面,因为没有流入的 PageRank 而只流出的 PageRank，从对称性来考虑的话必定是很奇怪的。
同时，有时候也有链接只在一个集合内部旋转而不向外界链接的现象。这是非周期性的回归类多重存在时可能出现的问题。(请读者考虑一下陷入上图中一个 R 中而不能移动到别的 R 和 T 的情况)。 Pagerank 称之为「rank sink」。在现实中的页面，无论怎样顺着链接前进，仅仅顺着链接是绝对不能进入的页面群总归存在，也就是说，这些页面群是从互相没有关联的多数的同值类(回归类)形成的。
总之，由现实的 Web 页组成的推移概率行列大部分都不是最简的。当不是最简时，最大特性值(即1)是重复的，并且不能避免优固有矢量多数存在的问题。换句话说，PageRank 并不是从一个意义上来决定的。
在此，Pagerank 为了解决这样的问题，考虑了一种「用户虽然在许多场合都顺着当前页面中的链接前进,但时常会跳跃到完全无关的页面里」,这样的浏览模型。再者，将「时常」固定为 15％ 来计算。用户在 85％ 的情况下沿着链接前进,但在 15％ 的情况下会突然跳跃到无关的页面中去。(注:Pagerank 的原始手法是各自87％(＝1/1.15 )和13％(＝0.15/1.15)。)
将此用算式来表示的话得到以下公式。
M'= c*M (1-c)*[1/N]
其中，[1/N]是所有要素为 1/N 的 N次正方行列，c =0.85(=1-0.15)。M'当然也同样是推移概率行列了。也就是说，根据 Pagerank 的变形，原先求行列 M 的特性值问题变成了求行列 M'的优固有矢量特性值问题。M 是固定无记忆信息源(i.i.d.)时，M'被称为「混合信息源」，这也就是固定但非ellGoth信息源的典型例子。
如果从数学角度看，「把非最简的推移行列最简化」操作的另外一种说法就是「把不是强联结的图表变成强联结」的变换操作。所谓对全部的要素都考虑0.15的迁移概率，就是意味着将原本非最简的推移概率行列转换为最简并回归的（当然非负的情况也存在）推移概率行列。针对原本的推移概率行列，进行这样的变换操作的话，就能从一个意义上定义 PageRank、也就是说能保证最大特性值的重复度为1。如果考虑了这样的变换操作的话，因为推移概率行列的回归类的数目变成 1 的同时也最简化，根据前面的定理，优固有矢量(即 PageRank)就被从一个意义上定义了。
数值计算上的问题点(其1)
在此，只要大概明白 PageRank 的概念就可以了，不需要很深的陷入数值计算上的技术的问题中(其实，笔者自己即使有自信也说不清楚)。但是，因为特性值分析和联立一次方程式分析一样，是利用在各种的统计分析中重要的数值计算手法的一中，所以这里我们简单的触及一些分析方法。
主记忆领域的问题是在数值计算上的问题之一。
假设 N 是 104 的 order。通常，数值计算程序内部行列和矢量是用双精度记录的，N 次正方行列 A 的记忆领域为 sizeof(double)* N * N =8 *10
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